Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，求的单调增区间；

（2）若恰有三个不同的零点（）．

①求实数的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）直接利用导数求函数的单调递增区间. （2）①关于的方程在上有三个不同的解．即关于的方程在上有三个不同的解．令，,再利用导数研究函数F(x)的图像和值域，即得a的取值范围. ②当时，．令，则，即，分析得到，，代入化简即证.

（1）当时，，定义域为．

．

所以，在上单调递增；

即的单调增区间为.

（2）①由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解．

即关于的方程在上有三个不同的解．

令，．

所以．

显然，当时，，证明如下：

令，．

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增．

所以当时，取最小值．

所以，当时，．

令，可得或．

将x,h1(x),h(x)变化情况列表如下

		极小值		极大值

又当

所以，实数的取值范围为．

②由①可知，当时，．

令，则，

即，，．

不妨设，则．

又，，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

显然，当时，；当时，．

所以，．

所以

．

即．