Question

3．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为41πcm²．

Answer 1

分析 作出几何体的直观图，建立坐标系求出外接球的球心坐标，得出球的半径，从而得出球的表面积．

解答 解：设ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为4的正方体，M为A₁B₁的中点，
则三棱锥D-ABM为所求几何体，
以正方体的顶点B₁为原点建立空间坐标系，如图所示：
则A（0，4，4），B（0，4，0），D（4，4，4），M（0，0，2），
设棱锥外接球的球心为O（x，y，z），则OA=OB=OD=OM，
∴x²+（y-4）²+（z-4）²=x²+（y-4）²+z²=（x-4）²+（y-4）²+（z-4）²=x²+y²+（z-2）²，
∴x=2，y=，z=2，即O（2，$\frac{5}{2}$，2），
∴外接球的半径r=OA=$\sqrt{4+\frac{9}{4}+4}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴外接球的表面积S=4πr²=41π．
故答案为：41π．

点评 本题考查了棱锥的三视图，球与棱锥的位置关系，属于中档题．