Question

15．设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若f（x）+m≠0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{4-4x≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{4x-4≤5}\end{array}\right.$，
故不等式的解集是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]；
（2）若f（x）+m≠0恒成立，
即f（x）+m=0在R上无解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
故f（x）的最小值是2，
故m＞-2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．