【题目】已知椭圆的左顶点为
,右焦点为
,直线
与
轴相交于点
,且
是
的中点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于
两点,
都在
轴上方,并且
在
之间,且
到直线
的距离是
到直线
距离的
倍.
①记的面积分别为
,求
;
②若原点到直线
的距离为
,求椭圆方程.
【答案】(1);(2)①
;②
.
【解析】
试题本题以直线与椭圆的位置关系为背景.第(1)小题设计为求椭圆的离心率,只需利用条件是
的中点,可得
,从而得
.第(2)小题中第①题求
,需要用等积法进行转化,即
.第②题求椭圆方程,设直线
方程为
.注意到
,和原点
到直线
的距离为
,
,从而可以确定
,
,
的值.
试题解析:(1)因为是
的中点,所以
,即
,又
、
,
所以,所以
;
(2)①解法一:过作直线
的垂线,垂足分别为
,依题意,
,
又,故
,故
是
的中点,∴
,
又是
中点,∴
,∴
;
解法二:∵,∴
,椭圆方程为
,
,
,
设,
,点
在椭圆
上,即有
,
同理,
又,故
得
是
的中点,∴
,
又是
中点,∴
,∴
;
②解法一:设,则椭圆方程为
,
由①知是
的中点,不妨设
,则
,
又都在椭圆上,即有
即
两式相减得:,解得
,
可得,故直线
的斜率为
,
直线的方程为
,即
原点到直线
的距离为
,
依题意,解得
,故椭圆方程为
.
解法二:设,则椭圆方程为
,
由①知是
的中点,故
,
直线的斜率显然存在,不妨设为
,故其方程为
,与椭圆联立,并消去
得:
,整理得:
,(*)
设,
,依题意:
]
由
解得:
所以,解之得:
,即
.
直线的方程为
,即
原点到直线
的距离为
,
依题意,解得
,故椭圆方程为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行也越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足:4≤t≤15,N,平均每趟地铁的载客人数p(t)(单位:人)与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系:
,其中
.
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人,试求发车时间间隔t的值.
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为(单位:元),问当发车时间间隔t为多少时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大?井求出最大净收益.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE
平面BCED,如下图.
(Ⅰ)求证:A1OBD;
(Ⅱ)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在以、
、
、
、
、
为顶点的五面体中,平面
平面
,
,四边形
为平行四边形,且
.
(1)求证:;
(2)若,
,直线
与平面
所成角为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
:
(
,
为参数).在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
:
.
(1)说明是哪一种曲线,并将
的方程化为极坐标方程;
(2)若直线的方程为
,设
与
的交点为
,
,
与
的交点为
,
,若
的面积为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价,随机选取了50名购买该家电的消费者,让他们根据实际使用体验进行评分.
(Ⅰ)设消费者的年龄为,对该款智能家电的评分为
.若根据统计数据,用最小二乘法得到
关于
的线性回归方程为
,且年龄
的方差为
,评分
的方差为
.求
与
的相关系数
,并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.
(Ⅱ)按照一定的标准,将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”,评分划分为“好评”和“差评”,整理得到如下数据,请判断是否有的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.
好评 | 差评 | |
青年 | 8 | 16 |
中老年 | 20 | 6 |
附:线性回归直线的斜率
;相关系数
,独立性检验中的
,其中
.
临界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在平行四边形ABCD中,,
,
,点E是CD边的中点,将
沿AE折起,使点D到达点P的位置,且
.
(1)求证;平面平面ABCE;
(2)求点E到平面PAB的距离.
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