【题目】已知的实常数,函数
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点
,
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)证明: .
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)对函数求导得
,对实常数
分情况讨论,由
的正负得出函数
的单调性;(2)(ⅰ)由(1)的讨论,得出
,再根据极小值为负数,得出
的范围;(ⅱ)由
,得
,即
,令
,对
求导,得出单调性,要证
,只需证
就可得出结论,构造
,
,求导得出单调性转化求解即可。
试题解析:(1).
当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,由
,得
.
若,则
,函数
在
上单调递增;
若,则
,函数
在
上单调递减.
(2)(ⅰ)由(1)知,当时,
单调递增,没有两个不同的零点.
当时,
在
处取得极小值.
由,得
.
所以的取值范围为
.
(ⅱ)由,得
,即
.
所以.
令,则
.
当时,
;当
时,
.
所以在
递减,在
递增,所以
.
要证,只需证
.
因为在
递增,所以只需证
.
因为,只需证
,即证
.
令,
,则
.
因为,所以
,即
在
上单调递减.
所以,即
,
所以成立.
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【题目】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付方式 | 不大于2000元 | 大于2000元 |
仅使用A | 27人 | 3人 |
仅使用B | 24人 | 1人 |
(Ⅰ)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(Ⅱ)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(Ⅱ)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
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【题目】(多选题)某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图,下列五种说法中正确的是( )
A.前三年中,总产量的增长速度越来越快
B.前三年中,总产量的增长速度越来越慢
C.前三年中,年产量的增长速度越来越慢
D.第三年后,这种产品停止生产
E.第三年后,年产量保持不变
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【题目】某海滨浴场一天的海浪高度是时间
的函数,记作
,下表是某天各时的浪高数据:
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | |
1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间
的函数关系;
(2)依据规定,当海浪高度不少于时才对冲浪爱好者开放海滨浴场,请依据(1)的结论,判断一天内的
至
之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪?
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【题目】已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是________(由小到大).
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【题目】如图所示,为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD
平面PBC=
.
(1)求证:BC∥;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为,若以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求圆C的一个参数方程;
(2)在平面直角坐标系中,是圆C上的动点,试求
的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
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