【题目】如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE
平面BCED,如下图.
(Ⅰ)求证:A1OBD;
(Ⅱ)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值;
【答案】(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)先证,再由面面垂直,即可证明线面垂直,再推出线线垂直;
(Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得直线
的方向向量与平面
的法向量,即可由向量法求得线面角的正弦值.
(Ⅰ)因为,
分别为
中点,
故可得,故
为等腰三角形,又
为
中点,
故可得,又因为平面A1DE
平面BCED,且交线为
,
又平面
,故
平面
,又
平面
,
故.即证.
(Ⅱ)过作
,由(Ⅰ)可知
平面
,
又平面
,故可得
,
又因为//
,故可得
.
综上所述:两两垂直,
故以为坐标原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,
如下图所示:
故可得,
则
设平面的法向量为
,
故可得,即
,
取,可得
.故
.
又,
故可得.
设直线A1C和平面A1BD所成角为,
故可得.
则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.
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【题目】已知两条抛物线C:y2=2x,E:y2=2px(p>0且p≠1),M为C上一点(异于原点O),直线OM与E的另一个交点为N.若过M的直线l与E相交于A,B两点,且△ABN的面积是△ABO面积的3倍,则p=_____
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【题目】已知函数f(x)=(k+)lnx+
,k∈[4,+∞),曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为
A. (,+∞) B. (
,+∞) C. [
,+∞) D. [
,+∞)
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P( | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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【题目】为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(1)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;
(2)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
(3)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
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【题目】如图,在棱长都相等的正三棱柱中,
是棱
的中点,
是棱
上的动点.设
,随着
增大,平面
与底面
所成锐二面角的平面角是( )
A.增大B.先增大再减小
C.减小D.先减小再增大
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【题目】给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
②求证:线段的长为定值.
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【题目】已知椭圆的左顶点为
,右焦点为
,直线
与
轴相交于点
,且
是
的中点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于
两点,
都在
轴上方,并且
在
之间,且
到直线
的距离是
到直线
距离的
倍.
①记的面积分别为
,求
;
②若原点到直线
的距离为
,求椭圆方程.
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