Question

设函数f（x）=

x

x-1

，给出下列两个命题：
①存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＜2；
②若f（a）=f（b）（a≠b），则a+b＞4．
其中判断正确的是（　　）

• A、①真，②真
• B、①真，②假
• C、①假，②真
• D、①假，②假

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的最值及其几何意义,函数的值

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：由题意，可将函数变形为f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1?

=

x-1?

+

1

x-1?

，利用基本不等式得出函数的最小值为2，从而判断出两个命题的真假．

解答：解：①x∈（1，+∞），f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1?

=

x-1?

+

1

x-1?

≥2

x-1? × 1 x-1?

=2，等号当且仅当

x-1?

=

1

x-1?

，即x=2时成立，
故存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＜2不正确；
②由①的判断知，f（a）=f（b）=2时，此时有a=b=2，使得a+b=4，当a≠b时，必有a+b＞4，故②正确
综上判断知，①假，②真
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断及利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值或判断不等关系是否成立时要注意等号成立的条件．