Question

如图，P（x₀，f（x₀））是函数y=f（x）图象上一点，曲线y=f（x）在点P处的切线交x轴于点A，PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB的面积为

1

2

，则 f′（x₀）与f（x₀）满足关系式（　　）

• A、f′（x₀）=f（x₀）
• B、f′（x₀）=[f（x₀）]²
• C、f′（x₀）=-f（x₀）
• D、[f′（x₀）]²=f（x₀）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：根据导数的几何意义：f'（x₀）为曲线y=f（x）在x=x₀处切线的斜率，写出切线方程，令y=0，求出A点的坐标，分别求出AB，PB长，运用三角形的面积公式，化简即可．

解答：解：设A的坐标为（a，0），
由导数的几何意义得：
f'（x₀）为曲线y=f（x）在x=x₀处切线的斜率，
故P点处的切线方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
令y=0，则0-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
即x=x₀-

f(x0)

f′(x0)

，即a=x₀-

f(x0)

f′(x0)

，
又△PAB的面积为

1

2

，
∴

1

2

AB•PB=

1

2

，即（x₀-a）•f（x₀）=1，
∴

f(x0)

f′(x0)

•f（x₀）=1即f'（x₀）=[f（x₀）]²，
故选B．

点评：本题是导数的一个应用：求切线方程，关键是先确定切点，其次是切线的斜率，同时考查基本的运算化简能力，是一道基础题．