Question

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，A，B是抛物线上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、2

  2

• D、4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：

分析：利用点斜式设过M的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据AB的中点坐标求得k，进而求得直线方程，求得AB的长度和焦点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答：解：当AB与x轴垂直时，根据对称性可知AB的中点应落在x轴上与已知矛盾，故直线AB的斜率一定存在，设为k，
则直线方程为y=k（x-2）+2，带入抛物线方程得k²x²-（4k²-4k+4）x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=

4k2-4k+4

k2

=4，求得k=1，
∴x₁x₂=0
∴直线AB的方程为y=x，
∵抛物线方程为y²=4x，
∴焦点F的坐标为（1，0），
∴点F到直线AB的距离d=

1

2

=

2

2

，
|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

∴S△_ABF=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×4

2

×

2

2

=2．
故选B

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时   涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）