Question

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=t，则由∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，推出PQ|=t，|F₁Q|=t，且F₂为PQ的中点，根据椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a用t表示，根据等边三角形的高，求出2c用t表示，再由椭圆的离心率公式e=

c

a

，即可得到答案．

解答：解：设|PF₁|=t，
∵|PF₁|=|PQ|，∠F₁PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F₁Q|=t，
由△F₁PQ为等边三角形，得|F₁P|=|F₁Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F₂为PQ的中点，|PF₂|=

t

2

，
∴|F₁F₂|=

3

2

t，即2c=

3

2

t，
由椭圆定义：|PF₁|+|PF₂|=2a，即2a=t+

t

2

=

3

2

t，
∴椭圆的离心率为：e=

c

a

=

3 2 t

3 2 t

=

3

3

．
故选D．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，离心率的求法，考查了学生对椭圆定义的理解和运用．