Question

若α，β∈R，且α≠kπ+

π

2

（k∈Z），β≠kπ+

π

2

（k∈Z），则“α+β=

π

4

”是“（tanα+1）（tanβ+1）=2”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解若α+β=

π

4

，则tan（α+β）═

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1整理得“（tanα+1）（tanβ+1）=2，即充分性成立．
若（tanα+1）（tanβ+1）=2，则1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2，
即tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
当α≠kπ+

π

2

（k∈Z），β≠kπ+

π

2

（k∈Z），
tan（α+β）═

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1，
则α+β=

π

4

+kπ，（k∈Z），即必要性不成立．
故“α+β=

π

4

”是“（tanα+1）（tanβ+1）=2”的充分不必要条件，
故选：A．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据两角和的正切公式是解决本题的关键，比较基础．