Question

15．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥DC，AA₁=1，AB：AD：BC：DC=3：4：5：6，侧棱AA₁⊥底面ABCD．
（I）证明：平面DCC₁D₁⊥平面ADD₁A₁；
（ II）若直线AA₁与平面AB₁C所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{7}$，求AB．

Answer 1

分析 （I）过点B作BE∥AD，交DC于点E，证明：CD⊥平面ADD₁A₁，即可证明平面DCC₁D₁⊥平面ADD₁A₁；
（ II）以点D为原点，射线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面AB₁C的法向量，利用直线AA₁与平面AB₁C所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{7}$，求AB．

解答 （ I）证明：过点B作BE∥AD，交DC于点E，
则ABED是平行四边形，BE=AD=4k，DE=AB=3k…（2分）
在△BEC中，因为BC²=EC²+BE²，
所以BE⊥DC，AD⊥DC…（4分）
另一个方面，侧棱AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁⊥DC．
而AA₁∩AD=A，所以CD⊥平面ADD₁A₁，
故平面平面DCC₁D₁⊥平面ADD₁A₁…（6分）
（ II）解：以点D为原点，射线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
则B₁（4k，3k，1），C（0，6k，0），A（4k，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-4k，6k，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3k，1）…（8分）
设平面AB₁C的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{-4kx+6ky=0}\\{3ky+z=0}\end{array}\right.$得$\overrightarrow{m}$=（3，2，-6k）．
sinθ=|$\frac{6k}{\sqrt{13+36{k}^{2}}}$=$\frac{6}{7}$，∴k=1，
所以AB=3…（12分）

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．