Question

3．已知二项式${（{x+\frac{1}{2ax}}）^9}$的展开式中x³的系数为$-\frac{21}{2}$，则$\int_1^e{（{x+\frac{a}{x}}）}$dx的值为（　　）

• A． $\frac{{{e^2}+1}}{2}$
• B． $\frac{{{e^2}-3}}{2}$
• C． $\frac{{{e^2}+3}}{2}$
• D． $\frac{{{e^2}-5}}{2}$

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为3求出r的值，写出x³的系数，求得a的值，计算$\int_1^e{（{x+\frac{a}{x}}）}$dx的值．

解答 解：二项式${（{x+\frac{1}{2ax}}）^9}$展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•x^9-r•${（\frac{1}{2ax}）}^{r}$=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2a}）}^{r}$•x^9-2r，
令9-2r=3，解得r=3；
所以展开式中x³的系数为：
${C}_{9}^{3}$•${（\frac{1}{2a}）}^{3}$=$-\frac{21}{2}$，
解得a=-1；
所以$\int_1^e{（{x+\frac{a}{x}}）}$dx=${∫}_{1}^{e}$（x-$\frac{1}{x}$）dx=（$\frac{1}{2}$x²-lnx）${|}_{1}^{e}$=（$\frac{1}{2}$e²-1）-（$\frac{1}{2}$-0）=$\frac{{e}^{2}-3}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．