Question

11．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，点D是SC的中点，且平面ABD⊥平面SAC
（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAC
（Ⅱ）若SA=2AB=3AC，求二面角S-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在平面SAC中，过点S作SH⊥AD，垂足为H，由面面垂直的性质可得AB⊥SH，再由SA⊥平面ABC，得AB⊥SA，结合线面垂直的判定可得AB⊥平面SAC；
（Ⅱ）不妨设AC=2，AB=3，AS=6，由（Ⅰ）知，AB⊥平面SAC，得AB⊥AC，分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系．求出两个平面平面ABD与平面SBD的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二面角S-BD-A的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，在平面SAC中，过点S作SH⊥AD，垂足为H，
∵平面ABD⊥平面SAC，平面ABD∩平面SAC=AD，
∴SH⊥平面ABD，∴AB⊥SH．
又SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA．
∵SA∩SH=S，∴AB⊥平面SAC；
（Ⅱ）解：不妨设AC=2，AB=3，AS=6，
由（Ⅰ）知，AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC，
分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，2，0），S（0，0，6），D（0，1，3）．
设平面ABD的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=3{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}={y}_{1}+3{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，-3，1）$．
同理可得平面SBD的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（-2，-3，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{8}{\sqrt{10}×\sqrt{14}}=\frac{4\sqrt{35}}{35}$．
∴二面角S-BD-A的余弦值为-$\frac{4\sqrt{35}}{35}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．