Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆上一点$P（1，\frac{3}{2}）$与椭圆右焦点的连线垂直于x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）与抛物线y²=4x相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得c，把P的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设切点坐标为$（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}）$（y₀＞0），写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，得到AB的垂直平分线方程，求出N的坐标，进一步得到MN的斜率，然后利用基本不等式求直线MN斜率的最小值．

解答 解：（1）∵点$P（1，\frac{3}{2}）$与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，
∴c=1，将P点坐标代入椭圆方程可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，
又a²-b²=1，联立可解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设切点坐标为$（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}）$（y₀＞0），则l：$y-{y}_{0}=\frac{2}{{y}_{0}}（x-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}）$．
整理，得l：$y=\frac{2}{{y}_{0}}x+\frac{{y}_{0}}{2}$．
∴M（$-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，0$），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{{y}_{0}}x+\frac{{y}_{0}}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得$（3+\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}）{x}^{2}+8x+{{y}_{0}}^{2}-12=0$，
△=$64-4（3+\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}）（{{y}_{0}}^{2}-12）$=$\frac{-12{{y}_{0}}^{4}+144{{y}_{0}}^{2}+768}{{{y}_{0}}^{2}}$＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{4}-12{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$．
∴AB的中点坐标为$（\frac{-4{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}，\frac{\frac{3}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}）$，
∴AB的垂直平分线方程为$y-\frac{\frac{3}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}=-\frac{{y}_{0}}{2}（x+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}）$，令x=0，得$y=\frac{-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$，
即N$（0，\frac{-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}）$，∴${k}_{MN}=\frac{-2{y}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$．
∵y₀＞0，∴${k}_{MN}=\frac{-2{y}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$=$\frac{-2}{3{y}_{0}+\frac{16}{{y}_{0}}}$$≥-\frac{\sqrt{3}}{12}$，当且仅当${y}_{0}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$时取得等号．
∴直线MN的斜率的最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了整体运算思想方法，是中档题．