Question

4．已知f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）
（1）若向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{4}$，cos$\frac{x}{4}$），$\overrightarrow{n}$=（-cos$\frac{x}{4}$，sin$\frac{x}{4}$），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求f（x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（$\sqrt{2}$a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算与辅助角公式得到：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，从而可求f（x）的值；
（2）利用正弦定理求出A取值范围，然后求出函数f（A）的取值范围．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{4}$，cos$\frac{x}{4}$），$\overrightarrow{n}$=（-cos$\frac{x}{4}$，sin$\frac{x}{4}$），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{4}$sin$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+1=0，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=-1，
∴f（x）=-1；
（2）因为（$\sqrt{2}$a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得：（$\sqrt{2}$sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即$\sqrt{2}$sinAcosB=sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C），
又△ABC中A+B+C=π，
∴$\sqrt{2}$sinAcosB=sinA，
∵A，B∈（0，π），
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则B=$\frac{π}{4}$，
因此A+C=$\frac{3π}{4}$，于是A∈（0，$\frac{3π}{4}$），
由f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），得到：f（A）=2sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$），$\frac{π}{6}$＜$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{24}$
故f（A）的取值范围为（1，2]．

点评 本题考查数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查辅助角公式与两角和的余弦，属于中档题．