Question

13．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，n=2x+y-2，则 取最大值时，（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）ⁿ二项展开式中的常数项为240．

Answer 1

分析 首先利用约束条件得到可行域，结合n的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项．

解答 解：已知得到可行域如图：n=2x+y-2变形为y=-2x+2+z，当此直线经过图中B（2，4）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以z 的最大值为2×2+4-2=6，
所以（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）ⁿ二项展开式中的通项为${C}_{6}^{r}（2\sqrt{x}）^{r}（\frac{1}{x}）^{6-r}={2}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{\frac{3}{2}r-6}$，
当r=4此项为常数项，所以常数项为2⁴${C}_{6}^{4}$=240；
故答案为：240．

点评 本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n，然后由二项展开式通项求常数项．