Question

2．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，a＞0，b＞0，a≠b，m=f（$\frac{a+b}{2}$），n=f（$\sqrt{ab}$），p=f（$\frac{2ab}{a+b}$），则m，n，p 的大小关系为（　　）

• A． m＜n＜p
• B． m＜p＜n
• C． p＜m＜n
• D． p＜n＜m

Answer 1

分析 分别求出$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{2ab}{a+b}$，再根据指数函数的单调性判断m，n，p的大小即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a≠b，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2\sqrt{ab}}{2}$=$\sqrt{ab}$，
$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，
而函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x是减函数，
故m＜n＜p，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的性质，是一道基础题．