Question

1．已知函数f（x）=lnx-mx+m，（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，对导函数中m进行分类讨论，由此得到单调区间．
（2）借助（1），对m进行分类讨论，由最大值小于等于0，构造新函数，转化为最值问题．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m=$\frac{1-mx}{x}$
若m≤0，则f'（x）＞0（x＞0）恒成立；
若m＞0，当f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{m}$，当f′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{m}$，
此时f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{m}$），单调递减区间为（$\frac{1}{m}$，+∞）
综上m≤0，f（x）在（0，+∞）递增；
m＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）递增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）递减．
（2）由（1）知：当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，f（1）=0，显然不成立；
当m＞0时，只需f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=m-1-lnm，
只需m-lnm-1≤0即可，令g（m）=m-lnm-1，
则g′（m）=1-$\frac{1}{m}$，
得函数g（m）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（m）_min=g（1）=0，g（m）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
也就是m-lnm-1≥0对m∈（0，+∞）恒成立，
∴m-lnm-1=0，
解得m=1．

点评 本题考查函数求导，分类讨论，构造新函数，将不等式转化为最值问题，属于中档题．