Question

11．数列{a_n}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：a₂，a₄，a₈成等比数列，即（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得：d=2，由等差数列的通项公式即可求得求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简b_n，利用“裂项消项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），整理得：d²-2d=0，
∵d=2，d=0（舍去），
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=1$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．