Question

18．数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+a_n=2n+3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式逐步求解即可．
（2）方法一：猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．
方法二：利用递推关系式，逐步代换求解即可；
方法三：图象数列偶数项是等差数列，奇数项是等差数列，分别求解通项公式即可．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1+a_n=2n+3，a₂=3，a₃=4，a₄=5；
（2）方法一：猜想a_n的表达式为：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$，
下面用数学归纳法证明：①a₁=2，猜想成立；
②假设n=k（k∈N^*）时，a_k=k+1，则a_k+1=-a_k+2k+3=-（k+1）+2k+3=（k+1）+1，即n=k+1时猜想成立，
综合①②，由数学归纳法原理知：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$…（12分）
方法二：由a_n+1+a_n=2n+3得：${a_{n+1}}-（{n+2}）=-[{{a_n}-（{n+1}）}]=…={（{-1}）^n}（{{a_1}-2}）=0$，
所以：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$…（12分）
方法三：由a_n+1+a_n=2n+3得：a_n+2+a_n+1=2n+5，两式作差得：a_n+2-a_n=2，
于是a₁，a₃，a₅，…是首项a₁=2，公差为2的等差数列，那么${a_{2k-1}}=2k（{k∈{N^*}}）$，
且a₂，a₄，a₆，…是首项a₂=3，公差为2的等差数列，那么${a_{2k}}=2k+1（{k∈{N^*}}）$，
综上可知：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．