Question

14．已知数列{a_n}满足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，等比数列{b_n}满足b₂=4，b₄=16．
（1）求数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，当n≥2时$\frac{n-1}{{T}_{n}-2}$+2^n-5≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，利用n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．设等比数列{b_n}的公比为q＞0，由题意可得：b₁q=4，${b}_{1}{q}^{3}$=16，解得b₁，q即可得出．
（2）a_n•b_n=n•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（3）在（2）的条件下，当n≥2时$\frac{n-1}{{T}_{n}-2}$+2^n-5≥k恒成立，等价于：k≤$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+2^n-5（n≥2）恒成立．利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，∴n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n．
n=1时也满足，∴a_n=n．
设等比数列{b_n}的公比为q＞0，∵b₂=4，b₄=16．∴b₁q=4，${b}_{1}{q}^{3}$=16，解得b₁=q=2，∴b_n=2ⁿ．
（2）a_n•b_n=n•2ⁿ．
数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）在（2）的条件下，当n≥2时$\frac{n-1}{{T}_{n}-2}$+2^n-5≥k恒成立，等价于：k≤$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+2^n-5（n≥2）恒成立．
∵n≥2时，$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+2^n-5≥2$\sqrt{\frac{1}{{2}^{n+1}}•{2}^{n-5}}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当n=2时取等号．
∴k≤$\frac{1}{4}$，
∴k的取值范围是$（-∞，\frac{1}{4}]$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．