Question

4．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求f（x）的最小值；
（2）比较f（x）与$f（\frac{1}{x}）$的大小；
（3）证明：x＞0时，xe^xlnx+e^x＞x³．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的最小值即可．
（2）令$g（x）=f（x）-f（\frac{1}{x}）$，化简通过函数的导数，判断导函数的符号，然后通过x 的范围，判断两个数的大小．
（3）要证xe^xlnx+e^x＞x³，即证：$lnx+\frac{1}{x}＞\frac{x^2}{e^x}$，令$h（x）=\frac{x^2}{e^x}$，利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最小值，即可证明结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）f'（x）=$\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}（x＞0）$，根据题意知f'（1）=0，即a=1，∴$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，
…（2分）
∴f'（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）_min=f（1）=1．   …（4分）
（2）令$g（x）=f（x）-f（\frac{1}{x}）$=$lnx+\frac{1}{x}-[ln（\frac{1}{x}）+x]$=$2lnx+\frac{1}{x}-x$，
$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-1=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}≤0$，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减…（6分）
又∵g（1）=0∴当0＜x＜1时，g（x）＞g（1）=0，$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$；
当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，$f（x）＜f（\frac{1}{x}）$；
当x=1时，g（x）=0，$f（x）=f（\frac{1}{x}）$．…（8分）
（3）要证xe^xlnx+e^x＞x³，即证：$lnx+\frac{1}{x}＞\frac{x^2}{e^x}$…（10分）
令$h（x）=\frac{x^2}{e^x}$，即证∴f（x）＞h（x），$h'（x）=\frac{{2x{e^x}-{e^x}{x^2}}}{{{e^{2x}}}}$=$\frac{{2x-{x^2}}}{e^x}$，
∴当0＜x＜2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x＞2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{e^2}＜1$，
又由（1）知f（x）_min=1，∴f（x）≥1，∴f（x）＞h（x），得证．…（12分）
附加题：（每小题（5分），共15分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．