Question

19．已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD．设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．
（1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；
（2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有$\overrightarrow{PE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PM}$，证明$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}$，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．
（2）证明线面平行，可得面面平行．

解答 （1）证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有$\overrightarrow{PE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PM}$，
$\overrightarrow{PF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{PG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{PH}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{PR}$
∴$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{MN}$+$\overrightarrow{MR}$
=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PE}$）+$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{PH}$-$\overrightarrow{PE}$）
=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}$）
又∵$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{PQ}$-$\overrightarrow{PM}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$，
∴$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}$），
∴$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}$，
由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）得$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{PQ}$-$\overrightarrow{PM}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$，故$\overrightarrow{MQ}$∥$\overrightarrow{EG}$．
又∵MQ?平面ABC，EG?平面ABC．
∴EG∥平面ABC．
又∵$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{EF}$
∴MN∥EF，又∵MN?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
∵EG与EF交于E点，
∴平面EFGH∥平面ABCD．

点评 本题考查四点共面、平面与平面平行，考查向量知识的运用，属于中档题．