Question

4．已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=|x₁y₂-x₂y₁|．
（2）设l₁与l₂的斜率之积为$-\frac{1}{2}$，求面积S的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，直线l₁的方程为，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l₁的距离d=$\frac{丨{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}丨}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}}$，再利用|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，可证得S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；当l₁与l₂时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-$\frac{1}{2k}$，可得直线l₁与l₂的方程，联立方程组，可求得x₁、x₂、y₁、y₂，继而可求得答案．
方法二：设直线l₁、l₂的斜率分别为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，利用A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在椭圆x²+2y²=1上，求得|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可求得面积S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）依题意，直线l₁的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
由点到直线间的距离公式得：点C到直线l₁的距离d=$\frac{丨\frac{{y}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}丨}{\sqrt{1+（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}）^{2}}}$=$\frac{丨{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}丨}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}}$，
由|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，
∴S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；
当l₁与l₂时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-$\frac{1}{2k}$，
设直线l₁的方程为y=kx，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
根据对称性，设x₁=$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，则y₁=$\frac{k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
同理可得x₂=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．
方法二：设直线l₁、l₂的斜率分别为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂=-2y₁y₂，
∴x₁²x₂²=4y₁²y₂²=-2x₁x₂y₁y₂，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在椭圆x²+2y²=1上，
∴（x₁²+2y₁²）（x₂²+2y₂²）=x₁²x₂²+4y₁²y₂²+2（x₁²y₂²+x₂²y₁²）=1
即-4x₁x₂y₁y₂+2（x₁²y₂²+x₂²y₁²）=1，
∴（x₁y₂-x₂y₁）²=$\frac{1}{2}$，即|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于中档题．