Question

16．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为2，右焦点F到它的一条渐近线的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是否存在过点F且与双曲线的右支交于不同的P、Q两点的直线l，当点M满足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$时，使得点M在直线x=-2上的射影点N满足$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点到直线的距离公式可知：$\frac{丨bc丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即可求得b=$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{{a}^{2}}}$=2，即可求得a的值，求得双曲线的标准方程；
（2）假设存在满足条件的直线l，直线l的斜率不存在时，求得N，P，Q坐标，由$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=7≠0$，即此时l不满足条件；当斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程，由韦达定理及向量的数量积的坐标表示，$（-2-{x_1}）（-2-{x_2}）+\frac{{{y_2}-{y_1}}}{2}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}=0$即$4{x_1}{x_2}+8（{x_1}+{x_2}）+16-[{（{y_1}+{y_2}）^2}-4{y_1}{y_2}]=0$，代入即可求得k的值，求得直线方程．

解答 解：（1）双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$焦点在x轴上，设右焦点为（ c，0 ），一条渐近线为bx-ay=0，
由点到直线的距离公式可知：$\frac{丨bc丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，由c²=a²+b²，解得：b=$\sqrt{3}$，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{{a}^{2}}}$=2，解得：a=1，
∴双曲线的标准方程${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$；
（2）∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$，
∴M是PQ的中点，假设存在满足条件的直线l，
若直线l的斜率不存在时，此时M点即为F（2，0），可解得：N（-2，0），P（2，3），Q（2，-3），
∴$\overrightarrow{PN}=（-4，-3），\overrightarrow{QN}=（-4，3）$，
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=7≠0$，即此时l不满足条件；
若直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为y=k（x-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ 3{x^2}-{y^2}=3\end{array}\right.$，整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∵要使l与双曲线交于右支不同的P、Q两点，须要3-k²≠0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，即$\frac{{4{k^2}}}{{{k^2}-3}}＞0$，$\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}-3}}＞0$，可得k²＞3
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{{k^2}-3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}-3}}，{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-4k=\frac{12k}{{{k^2}-3}}$，${y_1}{y_2}={k^2}[{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4]=\frac{{-9{k^2}}}{{{k^2}-3}}$，
∵M在直线x=-2上的射影点N满足$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$，
∴$\overrightarrow{PN}=（-2-{x_1}，\frac{{{y_2}-{y_1}}}{2}），\overrightarrow{QN}=（-2-{x_2}，\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}）$，
∵$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$，
∴$（-2-{x_1}）（-2-{x_2}）+\frac{{{y_2}-{y_1}}}{2}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}=0$即$4{x_1}{x_2}+8（{x_1}+{x_2}）+16-[{（{y_1}+{y_2}）^2}-4{y_1}{y_2}]=0$，
整理得：7k⁴-66k²+27=0，解得：k²=9或${k^2}=\frac{3}{7}$，
∵k²＞3，k²=9，即k=±3，
∴存在这样的直线l满足条件，l的方程为3x-y-6=0或3x+y-6=0．

点评 本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．