Question

1．已知函数$f（x）=\frac{p}{2}{x^2}-lnx（{p∈R}）$．
（1）当p=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当p＞1时，求证：$（{p-1}）x-f（x）＜\frac{{3{e^{p-3}}}}{2p-1}$．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义，即可求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）令$g（x）=（{p-1}）x-f（x）=（{p-1}）x-\frac{p}{2}{x^2}+lnx$，求出$g{（x）_{max}}=\frac{1}{2}p-1$．设$h（p）=\frac{{（{2p-1}）（{\frac{1}{2}p-1}）}}{{{e^{p-3}}}}（{p＞1}）$，确定单调性，即可证明结论．

解答 解：（1）依题意，f（x）=x²-lnx，故$f'（x）=2x-\frac{1}{x}$，因为f'（1）=1，f（1）=1，故所求切线方程为y=x．
（2）∵p＞1，令$g（x）=（{p-1}）x-f（x）=（{p-1}）x-\frac{p}{2}{x^2}+lnx$，
故$g'（x）=p-1-px+\frac{1}{x}=\frac{{（{px+1}）（{1-x}）}}{x}$，可得函数g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
∴g（x）在x=1时取得的极大值，并且也是最大值，即$g{（x）_{max}}=\frac{1}{2}p-1$．
又2p-1＞0，∴$（{2p-1}）[{（{p-1}）-\frac{p}{2}{x^2}+lnx}]≤（{2p-1}）（{\frac{1}{2}p-1}）$．
设$h（p）=\frac{{（{2p-1}）（{\frac{1}{2}p-1}）}}{{{e^{p-3}}}}（{p＞1}）$，则$h'（p）=-\frac{{（{2{p^2}-9p+7}）}}{{2{e^{p-3}}}}=-\frac{{（{p-1}）（{2p-7}）}}{{2{e^{p-3}}}}$，
所以h（p）的单调递增区间为$（{1，\frac{7}{2}}）$，单调递减区间为$（{\frac{7}{2}，+∞}）$，
所以$h（p）≤h（{\frac{7}{2}}）=\frac{{6×\frac{3}{4}}}{{{e^{\frac{1}{2}}}}}=\frac{9}{{2\sqrt{e}}}$，
∵$2\sqrt{e}＞3$，∴$\frac{9}{{2\sqrt{e}}}＜\frac{9}{3}=3$，∴h（p）＜3，
又∵e^p-3＞0，∴$（{2p-1}）[{（{p-1}）x-\frac{p}{2}{x^2}+lnx}]＜3{e^{p-3}}$，即$（{p-1}）x-f（x）＜\frac{{3{e^{p-3}}}}{2p-1}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．