Question

11．已知O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$=（sinx，1），$\overrightarrow{OB}$=（cosx，0），$\overrightarrow{OC}$=（-sinx，2），点P满足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．
（1）记函数f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$，当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）设$\overrightarrow{OD}$=（4λ，cos2x），g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若g（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）点P满足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．求出$\overrightarrow{P}$的坐标，根据函数f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$求解出f（x）的解析式，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，求出的范围，根据k的取值，可得单调增减区间；
（2）向量的数量积的坐标求解出g（x）的解析式，转化为二次函数问题求解．

解答 解：由题意：向量$\overrightarrow{OA}$=（sinx，1），$\overrightarrow{OB}$=（cosx，0），$\overrightarrow{OC}$=（-sinx，2），
则：A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），
设P点为（m，n），点P满足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．
则$\left\{\begin{array}{l}{cosx-sinx=m-cosx}\\{0-1=n-0}\end{array}\right.$
故得P为（2cosx，-1）．
（1）函数f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$=（sinx-cosx，1）（2sinx，-1）=2sin²x-sin2x-1=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）时，则2x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{8}$时，函数f（x）取得最小值，
根据正弦函数的性质：可知
当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）时，函数f（x）的单调减区间为（$-\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}$），单调增区间为（$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）．
（2）设$\overrightarrow{OD}$=（4λ，cos2x），即D（4λ，cos2x），
g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$=（sinx，1）（4λ，cos2x）=4λsinx+cos2x=2cos²x-1+4λsinx=2-2sin²x-1+4λsinx，
故得g（x）=-2（sinx-λ）²+2λ²+1，
由g（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinx=λ}\\{2{λ}^{2}+1=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sinx=λ＞0．
解得：λ=$\frac{1}{2}$．
故得g（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，实数λ的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积的坐标计算，三角函数的图象及性质的运用．计较综合的题，属于中档题．