Question

2．已知x∈（0，+∞）时，不等式9^x-m•3^x+m+1＞0恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． 2-2$\sqrt{2}$＜m＜2+2$\sqrt{2}$
• B． m＜2
• C． m＜2+2$\sqrt{2}$
• D． m$≥2+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分离参数m，原不等式恒成立转化为m＜（3^x-1）+$\frac{2{•3}^{x}}{{3}^{x}-1}$=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞）恒成立，构造函数g（x）=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞），利用基本不等式可求得g（x）_min，从而可得m的取值范围．

解答 解：由9^x-m•3^x+m+1＞0得：m（3^x-1）＜9^x+1=（3^x-1）²+2•3^x，
∵x∈（0，+∞），
∴3^x＞1，即3^x-1＞0，
∴m＜（3^x-1）+$\frac{2{•3}^{x}}{{3}^{x}-1}$=（3^x-1）+$\frac{2{（3}^{x}-1）+2}{{3}^{x}-1}$
=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞）恒成立，
令g（x）=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞），
则m＜g（x）_min，
∵（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2≥2$\sqrt{{（3}^{x}-1）•\frac{2}{{3}^{x}-1}}$+2=2$\sqrt{2}$+2（当且仅当3^x-1=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$，
即x=log₃（$\sqrt{2}$+1）时取等号），
∴g（x）_min=2$\sqrt{2}$+2，
∴m＜2$\sqrt{2}$+2，
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查构造函数思想与等价转化思想，突出考查构造法与基本不等式的综合运用，属于难题．