Question

5．若直线y=kx+1（k＞0）与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有且只有一个交点，则k的值是$\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把直线方程代入双曲线方程，转化为求一元二次方程有一个根的情况，然后分类讨论，即可得到答案

解答 解：已知直线y=kx+1①与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1②只有一个交点，即方程只要一个根
把方程①代入②，整理得方程（2-k²）x²-2kx-3=0③恰有一根，
（1）当k=$\sqrt{2}$时，方程③变为-2$\sqrt{2}$x-3=0，得x=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，成立．
（2）当k=-$\sqrt{2}$时，方程③变为2$\sqrt{2}$x-3=0，得x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，成立．
（3）当k≠$±\sqrt{2}$时△=4k²+12（2-k²）=0，k=±$\sqrt{3}$
∵k＞0，∴k=$\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查直线与圆锥曲线交点的问题，题中涉及到求一元二次方程有一个根的求法，用到分类讨论思想和求判别式的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．