Question

3．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=f（x-1），且f（x+2）=f（2-x），且f（x）在[-3，-2]上是减函数，如果A，B是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A． f（sinA）＞f（cosB）
• B． f（cosB）＞f（sinA）
• C． f（sinA）＞f（sinB）
• D． f（cosB）＞f（cosA）

Answer 1

分析 由题意可知：函数为偶函数，周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角，求得α和β的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案

解答 解：由f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[-3，-2]上为减函数，
∴f（x）在[-1，0]上为减函数，
∵f（2-x）=f（x+2）=f（x-2）∴f（x）=f（-x），f（x）为偶函数，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∵在锐角三角形中，∵α，β是锐角，且∴α+β$＞\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}＞$α＞$\frac{π}{2}-β＞0$，∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故选：A．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于中档题．