Question

8．已知函数f（x）满足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的范围；
（Ⅱ）当x∈（-∞，2）时，f（x）＜4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，可求得f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），利用指数函数的单调性质，可判断f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为增函数，且为奇函数，于是当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{{-1≤m}^{2}-1≤1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解之即可求得实数m的范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为R上的增函数，故当x∈（-∞，2）时，f（x）＜4恒成立?4＞f（x）_max，即4≥f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2），于是可求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），
可化为：f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
即f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
∴当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，y=g（x）=a^x-a^-x为增函数，
又g（-x）=-g（x），故y=g（x）=a^x-a^-x为奇函数，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为奇函数，
同理，当0＜a＜1时，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为增函数．
∵当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{{-1≤m}^{2}-1≤1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得：1＜m≤$\sqrt{2}$．
即实数m的范围为（1，$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为R上的增函数，
∴当x∈（-∞，2）时，f（x）＜4恒成立?4＞f（x）_max，
又当x∈（-∞，2）时，f（x）取不到最大值，
∴4≥f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2），即$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{（a}^{2}+1）{（a}^{2}-1）}{{a}^{2}}$≤4，整理得：a+$\frac{1}{a}$≤4，又a≠1，
解得：2-$\sqrt{3}$≤a＜1或1＜a≤2+$\sqrt{3}$．
∴实数a的取值范围为[2-$\sqrt{3}$，1）∪（1，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想与函数方程思想，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题．