Question

6．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），左、右焦点为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，且|AB|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$|F₁F₂|．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点M（-4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆E于P、Q两点，N为PQ中点，问是否存在实数k，使得以F₁F₂为直径的圆经过N点，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆焦点在x轴上，将点（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，c²=a²-b²，联立即可求得a和b的值，即可求得椭圆E的方程；
（2）由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），且k≠0代入椭圆方程．△＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{4}$，且k≠0由韦达定理及中点坐标公式线段PQ的中点N（x₀，y₀），假设存在实数k，使得F₁F₂为直径的圆过N点，则${k_{{F_1}N}}．{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$．由${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$，代入可知：设t=k²，则80t²+40t-3=0，关于t的方程存在正解，存在实数k，使得以F₁F₂为直径的圆经过N点．

解答 解：（1）椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
∵椭圆E过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，
∴将点（1，$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，即a²+b²=7c²②
又∵c²=a²-b²③，
将①②③联立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y），线段PQ的中点N（x₀，y₀）．
由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），且k≠0．
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x+4）\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
由△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{4}$，且k≠0．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$${x_1}．{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．                           …（7分）
∴${x_o}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_0}=k（{x_o}+4）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$
假设存在实数k，使得F₁F₂为直径的圆过N点，
即F₁N⊥F₂N，则${k_{{F_1}N}}．{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$，…（9分）
∵${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$
∴$\frac{4k}{{1-4{k^2}}}×\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}=-1$，化为80k⁴+40k²-3=0，…（11分）
设t=k²，则80t²+40t-3=0，
∴关于t的方程存在正解，这样实数k存在．
即存在实数k，使得以F₁F₂为直径的圆经过N点．  …（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．