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    16．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过F2的直线交椭圆E于A、B两点，且三角形ABF1的周长为8$\sqrt{2}$．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）是否存在直线l1：y=x+m与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F2的直线l2垂直于直线l1？若有，求出m的值，若无，请分析说明理由．

    分析 （1）由已知结合椭圆定义求得a，再由离心率求得c，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
    （2）设C（x1，y1）、D（x2，y2）、M（x0，y0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出M的坐标，再由两直线斜率的关系求得m值，由所求m值不满足判别式大于0，可得不存在直线l1与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F2的直线l2垂直于直线l1．

    解答 解：（1）依题意得：$|A{F}_{1}|+|A{F}_{2}|+|B{F}_{1}|+|B{F}_{2}|=2a+2a=4a=8\sqrt{2}$，得a=$2\sqrt{2}$．
     又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=2，∴b2=a2-c2=4．
    ∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
    （2）设C（x1，y1）、D（x2，y2）、M（x0，y0），
    联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x2+4mx+2m2-8=0．
    ∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${y}_{1}+{y}_{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$．

    ∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}，{y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{m}{3}$，
    ∴M（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
    ∵直线l2垂直于直线l1，∴${k}_{{l}_{2}}=\frac{\frac{m}{3}-0}{-\frac{2m}{3}-2}=-1$，得m=-6．
    又∵直线l1与椭圆E交于不同的C、D两点，
    ∴△=96-8m2＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
    m=-6∉（-$2\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
    ∴不存在直线l1与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F2的直线l2垂直于直线l1．

    点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查直线垂直与斜率的关系，是中档题．

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    （1）求椭圆E的方程；
    （2）过点M（-4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆E于P、Q两点，N为PQ中点，问是否存在实数k，使得以F1F2为直径的圆经过N点，说明理由．

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    7．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）2+1，则a12=（　　）
    A．101B．122C．145D．170

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    4．已知关于x的方程x2+（a2-1）x+a-2=0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是（　　）
    A．（-1，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（-2，1）D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

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    11．已知函数f（x）=-2|x|+1，定义函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，则F（x）是（　　）
    A．奇函数B．偶函数
    C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

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    （1）求函数f（x）的单调区间和极值；
    （2）证明：当a∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）没有零点（提示：ln2≈0.69，ln3≈1.1）．

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    8．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．
    通项公式：an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-1}{2}，n为奇数}\\{\frac{{n}^{2}}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$       
    如果把这个数列{an}排成右侧形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为3612．

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    5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当x∈[0，1）时，f（x）=2x-1，则f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）的值为-$\frac{1}{4}$．

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    6．若tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{3}{2}$，α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），则sin（2α+$\frac{π}{4}}$）的值为（　　）
    A．$-\frac{{\sqrt{2}}}{5}$B．$\frac{{\sqrt{2}}}{5}$C．$-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$

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