Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²+1，则a₁₂=（　　）

• A． 101
• B． 122
• C． 145
• D． 170

Answer 1

分析 a_n+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²+1＞0，可得$（\sqrt{{a}_{n+1}-1}）^{2}$=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²，$\sqrt{{a}_{n+1}-1}$-$\sqrt{{a}_{n}-1}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²+1＞0，
则$（\sqrt{{a}_{n+1}-1}）^{2}$=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}-1}$-$\sqrt{{a}_{n}-1}$=1，
∴数列$\{\sqrt{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，公差为1．
∴$\sqrt{{a}_{n}-1}$=1=（n-1）=n，可得a_n=n²+1，
∴a₁₂=12²+1=145．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．