Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=1，|a_n+1-a_n|=pⁿ，n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若{a_n}是递增数列，且a₁，2a₂，3a₃成等差数列，求p的值；
（2）若p=$\frac{1}{2}$，且{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a_n}，使得S_n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用）{a_n}是递增数列，且a₁，2a₂，3a₃成等差数列，得到关于p的方程解之；
（2）将p代入，利用累加法得到数列{a_n}的通项公式；
（3）由p=1得到|a_n+1-a_n|=1，而a₁=1，得到后面的各项，观察分析规律，找到满足满足S_n=n的各项．

解答 解：（1）{a_n}是递增数列，且a₁，2a₂，3a₃成等差数列，4a₂=a₁+3a₃，又a₂-a₁=p，a₃-a₂=p²，所以3p²-p=0，解得p=$\frac{1}{3}$或者p=0（舍去）
（2）p=$\frac{1}{2}$，且{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，所以a_2n-a_2n-1＞0，a_2n+1-a_2n＜0，
${a}_{2n}-{a}_{2n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，${a}_{2n+1}-{a}_{2n}=-（\frac{1}{2}）^{2n}$，
所以a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…（a_n-a_n-1）=1$+\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}×\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$；
（3）由题意得|a_n+1-a_n|=1，而a₁=1，
所以a₂=2，0；a₃=3，1，-1；a₄=4，2，0，-2…
所以S₁=1，S₂=3，1；S₃=6，4，2，0；S₄=10，8，6，4，0，-2…
即S_4k-3为奇数；S_4k-2为偶数；S_4k为偶数；因此只有S_4k-3，S_4k满足S_n=n．

点评 本题考查了数列求和以及数列递推关系的运用；属于难题．