Question

【题目】已知是定义在R上的奇函数，且x≥0时有．

（1）写出函数的单调区间（不要证明）；

（2）解不等式；

（3）求函数在[﹣m，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）递增区间为（-∞，-2]，[2，+∞），递减区间为[-2，2]；（2）[﹣3，﹣1]∪[，+∞）；（3）见解析

【解析】

（1）由函数的解析式结合函数的奇偶性可得的单调区间；

（2）由函数的奇偶性可得函数的解析式，则有或，解不等式即可得答案；

（3）由（1）知函数在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；

（1）根据题意，是定义在R上的奇函数，且x≥0时有；则的单调递增区间为 ，[2，+∞），根据奇函数关于原点对称，得递减区间为[﹣2，0]；（﹣∞，﹣2]，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-2]，[2，+∞），递减区间为[-2，2]；

（2）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有，

设x＜0，则﹣x＞0，则，则，

综合可得：，

若或，

解可得：﹣3≤x≤﹣1或，

则不等式的解集为[﹣3，﹣1]∪[，+∞）；

（3）由（1）的结论，，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；

对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；

故当0＜m≤2时，，，

当2＜m≤4时，，，

当m＞4时，，，