Question

（1）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）；
（2）若二次函数f（x）的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0），且函数的最大值为9，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令

x

+1=t，使用换元法求解即可，（2）使用待定系数法，由条件令二次函数两根式f（x）=a（x+2）（x-4），再将函数的最大值为9代入可求的f（x）．

解答： 解：（1）令

x

+1=t，t≥1，则

x

=t-1，x=（t-1）²，
则f（

x

+1）=x+2

x

即为f（t）=t-1+2（t-1）²=2t²-3t+1，
则f（x）=2x²-3x+1；
（2）由题意设二次函数两根式f（x）=a（x+2）（x-4），
则由图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0），有图象对称轴为x=

-2+4

2

=1，
此时函数的最大值为9，得f（1）=9，解得a=-1，
则f（x）=-（x+2）（x-4）=-x²+2x+8．

点评：本题考查函数解析式的求法使用了待定系数法和换元法，（2）中也可令二次函数f（x）=ax²+bx+c，由条件得f（-2）=0，f（4）=0，f（1）=9，求解．