Question

20．设$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{2}$，1+sina），$\overrightarrow{b}$=（1-cosa，$\frac{1}{3}$），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则锐角a为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$得出（1+sinα）（1-cosα）-$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{3}$=0，再根据sin²α+cos²α=1列出方程组，即可求出sinα=cosα，再由α为锐角即可求出α的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{2}$，1+sina），$\overrightarrow{b}$=（1-cosa，$\frac{1}{3}$），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴（1+sinα）（1-cosα）-$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{3}$=0，
∴sinα-cosα-sinαcosα=-$\frac{1}{2}$①；
又sin²α+cos²α=（sinα-cosα）²+2sinαcosα=1②；
∴①×2+②得，（sinα-cosα）²+2（sinα-cosα）=0，
解得sinα-cosα=0或sinα-cosα=2（不合题意，舍去），
∴sinα=cosα，
又α为锐角，∴α=45°．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的共线定理与三角函数的化简和应用问题，是综合性题目．