Question

如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cos∠ADC，将三边长代入求出cos∠ADC的值，确定出∠ADC与∠ADB的度数，在三角形ABD中，利用正弦定理求出AB的长即可；
（2）过A作AE⊥BC，交BC于点E，根据三角形ABE为等腰三角形求出BE与AE的长，根据三角形AED为含30度的直角三角形求出ED的长，由BE+ED+DC求出BC的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

=

100+36-196

2×10×6

=-

1

2

，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
在△ABD中，AD=10，B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得

AB

sin∠ADB

=

AD

sinB

，
则AB=

ADsin∠ADB

sinB

=

10× 3 2

2 2

=5

6

；
（2）过A作AE⊥BC，交BC于点E，
∵∠B=45°，∠EAD=30°，
∴△ABE为等腰直角三角形，ED=

1

2

AD=5，
∴AE=BE=

2

2

AB=5

3

，
∴BC=BE+ED+DC=5

3

+5+6=5

3

+11，
则S=

1

2

BC•AE=

75+55 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．