Question

已知函数f（x）=

x

x2+1

．
（1）求f（x）的极大值和极小值，并画出函数f（x）的草图
（2）根据函数图象，如果方程f（x）-m=0（m∈R）有且仅有两个不同的实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：高考数学专题

分析：（1）由已知得f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，由此利用导数性质能求出f（x）的极大值和极小值，并画出函数f（x）的草图．
（2）由（1）并根据函数图象，能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），
（1，+∞），增区间为（-1，1），
∴f（x）_极大值=f（1）=

1

2

，
f（x）_极小值=f（-1）=-

1

2

．
画出函数f（x）的草图如右图所示．
（2）由（1）并根据函数图象，知：
∵方程f（x）-m=0（m∈R）有且仅有两个不同的实根，
∴-

1

2

＜m＜0或0＜m＜

1

2

．
∴m的取值范围是（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

）．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．