Question

某物流公司拟建造如图所示的有底容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的下端为圆柱形，上端顶盖为半球形，按照设计要求容器的体积为

112π

3

立方米，且h≥4r．假设该容器的建造费用仅与表面积有关．已知圆柱形部分与底部每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为

15

2

千元．设该容器的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的r．（注：球体积V=

4

3

πr³；球表面积S=4πr²）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法,组合几何体的面积、体积问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到h和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用h≥4r，求出自变量r的范围．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．

解答： 解：（1）由体积V=

1

2

×

4

3

πr³+πr²h=

112π

3

，解得h=

112-2r3

3r2

，
∴y=2πrh×3+2πr²×

15

2

=6πr×

112-2r3

3r2

+15πr²
=π•

112+13r3

r

，
又h≥4r，即

112-2r3

3r2

≥4r，解得0＜r≤2．
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y=π•

112+13r3

r

=

112

r

+13r2=

56

r

+

56

r

+13r2≥3

3	56 r × 56 r ×13r2

=4

3	637

，
当且仅当r=

2 91

13

∈（0，2]s时取等号．
建造费用最小时r=

2 91

13

．

点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．