Question

已知函数f（x）=sin（π-x）-cosx（x∈R）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及最大、小值；
（3）若f（α）=

2

α∈（

π

2

，π），求sinα+cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先化简f（x）得到f（x）=

2

sin（x-

π

4

），令x=0，求出（1）f（0）；
（2）运用周期公式，即可得到f（x）的周期；由正弦函数的最值，即可得到f（x）的最大值、最小值；
（3）由f（α）=

2

，α∈（

π

2

，π），求出α=

3π

4

，即可得到sinα+cosα的值．

解答： 解：f（x）=sin（π-x）-cosx=sinx-cosx
=

2

sin（x-

π

4

），
∴（1）f（0）=0-1=-1；
（2）函数f（x）的最小正周期为T=2π，
最大值为

2

，此时x=2kπ+

3π

4

，
最小值为-

2

，此时x=2kπ+

7π

4

，k为整数．
（3）由于f（α）=

2

，α∈（

π

2

，π），
则α=2kπ+

3π

4

，k=0，α=

3π

4

，
∴sinα+cosα=sin

3π

4

+cos

3π

4

=

2

2

-

2

2

=0．

点评：本题考查两角差的正弦公式，三角函数的周期公式和最值，考查运算能力，属于基础题．