Question

设矩阵M=

a 0 0 b

（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：

x2

4

+y²=1，求a，b的值．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等,几种特殊的矩阵变换,逆变换与逆矩阵

专题：综合题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）由矩阵M=

2 0 0 3

是可逆的，能求出它的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′（x′，y′），可得

ax=x′ by=y′

，利用点P′（x′，y′）在曲线C′上，可得曲线C的方程，根据已知曲线C的方程，比较系数可得结论

解答： 解：（Ⅰ）∵矩阵M=

2 0 0 3

，
∴detM=6≠0，
∴矩阵M是可逆的，
∴M^-1=

1 2 0 0 1 3

．
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性交换作用下得到点P′（x′，y′），
则

a 0 0 b

x y

=

x′ y′

，即

ax=x′ by=y′

，
又点P′（x′，y′）在曲线C′上，∴

x′2

4

+y′2=1，
则

a2x2

4

+b2y2=1为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为x²+y²=1，又a＞0，b＞0，
∴a=2，b=1．

点评：本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法．解题时要认真审题，仔细解答．