Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

．
（1）求正项数列{a_n}的通项公式；
（2）求和

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an+1=

an

1+an

，得

1

an+1

-

1

an

=1，由此能求出an=

1

n+1

．
（2）由

an

n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项法能求出

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

的值．

解答： （满分12分）
解：（1）由an+1=

an

1+an

，
∵a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴

1

an+1

-

1

an

=1．
∵a1=

1

2

，
∴数列{

1

an

}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴

1

an

=2+n-1=n+1，∴an=

1

n+1

．
（2）∵

an

n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

(n+1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．