Question

（1）设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，则

x-2y-1

y-2

的取值范围是多少？
（2）设x，y为实数，若4x²-2xy+4y²=1，求2x+y的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据分式的性质，结合斜率的几何意义即可得到结论．
（2）设t=2x+y，即y=t-2x，利用消元法，结合判别式△建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（1）

x-2y-1

y-2

=

x-2(y-2)-5

y-2

=

x-5

y-2

-2=

1

y-2 x-5

-2，
设k=

y-2

x-5

，z=

1

k

-2．则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（5，2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知CD的斜率k=

2-0

5-2

=

2

3

，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即B（4，6），
此时BD的斜率k=

6-2

4-5

=-4．
则-4≤k≤

2

3

，
则

1

k

≥

3

2

或

1

k

≤-

1

4

，
即

1

k

-2≥-

1

2

或

1

k

≤-

9

4

，
即z≥-

1

2

或z≤-

9

4

，
则

x-2y-1

y-2

的取值范围是(-∞，-

9

4

]∪[-

1

2

，+∞)．
（2）设t=2x+y，即y=t-2x，
则方程等价为4x²-2x（t-2x）+4（t-2x）²=1，
整理得24x²-18tx+4t²-1=0，
则判别式△=（18t）²-4×24（4t²-1）≥0，
即60t²≤64，
即t²≤

16

15

，
解得-

4 15

15

≤t≤

4 15

15

，
即2x+y的最大值是

4 15

15

．

点评：本题主要考查不等式的求解，利用线性规划的应用以及斜率的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．