Question

设函数f（x）=sinx-cosx+x+1，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,两角和与差的正弦函数

专题：导数的综合应用

分析：由已知得f′(x)=1+

2

sin(x+

π

4

)，由此利用三角函数性质和导数性质能求出函数f（x）的单调区间与极值．

解答： 解：由已知得f′(x)=1+

2

sin(x+

π

4

)，
由三角函数性质得f'（x）为x=-π+2kπ，T=2π的周期函数，
令f'（x）=0，1+

2

sin(x+

π

4

)=0，
解得x=-

π

2

+2kπ或x=-

π

2

+2kπ，k∈Z

x	(-π+2kπ，- π 2 +2kπ)	- π 2 +2kπ	(- π 2 +2kπ，π+2kπ)	π+2kπ
f'（x）	-	0	+	0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值

由上表知，f（x）的单调递减区间为(-π+2kπ，-

π

2

+2kπ)，单调递增区间为(-

π

2

+2kπ，π+2kπ)，k∈Z．
极小值为f(-

π

2

+2kπ)=-

π

2

+2kπ，极大值为f（π+2kπ）=π+2kπ+2．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．