Question

设f（x）为R上的增函数，令F（x）=f（x）-f（2013-x）
（1）证明F（x）在R上是增函数；
（2）若F（x₁）+F（x₂）＞0，证明x₁+x₂＞2013．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）用单调性的定义来证明F（x）是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；
（2）由F（x₁）+F（x₂）＞0得F（x₁）＞-F（x₂）由F（x）=f（x）-f（2013-x）变形-F（x₂），
得F（2013-x₂），即F（x₁）＞F（2013-x₂），从而证出结论．

解答： （1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2013-x₁）]-[f（x₂）-f（2013-x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2013-x₂）-f（2013-x₁）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，
由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，∴2013-x₁＞2013-x₂，
∴f（2013-x₁）＞f（2013-x₂），∴f（2013-x₂）-f（2013-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2013-x₂）-f（2013-x₁）]＜0；
即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）证明：∵F（x₁）+F（x₂）＞0，∴F（x₁）＞-F（x₂），
由F（x）=f（x）-f（2013-x）知，
-F（x₂）=-[f（x₂）-f（2013-x₂）]
=f（2013-x₂）-f（x₂）
=f（2013-x₂）-f[2013-（2013-x₂）]=F（2013-x₂），
∴F（x₁）＞F（2013-x₂）；
又F（x）是实数集R上的增函数，
∴x₁＞2013-x₂，即x₁+x₂＞2013．

点评：本题考查了利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用，是有一定难度的题目．