Question

已知向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），函数f（x）=

a

•

b

-2．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）=1，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求边a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用向量数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，利用角的范围求出相位的范围，然后求解函数的最小值，即可；
（2）先确定C，在利用余弦定理、ab=2

3

，即可求解边a，b的值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），
函数f（x）=

a

•

b

-2=2cos²x+

3

sin2x-2=cos2x+1+

3

sin2x-2=2sin（2x+

π

6

）-1，
x∈[-

π

6

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
∴2sin（2x+

π

6

）-1∈[-2，1]．
∴函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最小值：-2．
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）-1=1，∴sin（2C+

π

6

）=1
∵C是△ABC的内角，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

由c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²=7，
ab=2

3

∵a＞b，
∴a=2，b=

3

．

点评：本题考查向量数量积公式、二倍角、辅助角公式，考查余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．