Question

17．7人站成一排．（写出必要的过程，结果用数字作答）
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三人至多两人不相邻的排法有多少种？

Answer 1

分析 （1）（捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列．
（2）方法一（间接法）7人任意排列，再排除（1）相邻的，
（插空法）将其余5人全排列形成6个空，任选2个排甲、乙两人，
（3）将其余4人排好，形成4个空，将甲、乙、丙插入5个空中
（4）（间接法）7人任意排列，再排除3人都相邻的种数问题得以解决．

解答 解：（1）（捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有$A_6^6$种排法，甲、乙两人可交换位置，有A₂²种排法，故共有$A_6^6•A_2^2=1440$（种）排法．
（2）方法一（间接法）7人任意排列，有$A_7^7$种排法，甲、乙两人相邻的排法有$A_2^2•A_6^6$种，故甲、乙不相邻的排法有$A_7^7-A_2^2•A_6^6=3600$（种）．
方法二（插空法）将其余5人全排列，有$A_5^5$种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有$A_6^2$种排法，故共有$A_5^5•A_6^2=3600$（种）排法．
（3）（插空法）将其余4人排好，有$A_4^4$种排法，将甲、乙、丙插入5个空中，有$A_5^3$种排法．故共有$A_4^4•A_5^3=1440$（种）排法．
（4）（间接法）7人任意排列有$A_7^7$种排法，甲乙丙都相邻的排法有${A}_{3}^{3}{A}_{5}^{5}$种，故有$A_7^7-A_5^5•A_3^3=4320$种排法

点评 本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，定序法，属于中档题．